VEKTOR

VEKTOR

Skalar dan Vektor

Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. Ada besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga atau magnitude) dan satuannya saja. Besaran ini disebut Skalar. Ada juga besaran yang disamping nilai dan satuannya perlu juga dinyatakan arahnya. Besaran ini disebut vektor.

Skalar

Besaran skalar hanya mempunyai nilai (magnitude). Contoh besaran skalar : , massa, waktu, laju, kerja dan energi.

Vektor

Besaran Vektor mempunyai nilai (magnitude) dan arah (direction). Contoh besaran vektor : posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, berat, dan momentum.

Notasi Geometris

Besaran vektor dituliskan dengan tanda panah diatas besaran tersebut atau dengan huruf tebal.

Besaran atau nilai dinyatakan dengan harga mutlaknya.

Vektor dapat direpresentasikan secara grafik dengan menggunakan anak panah, arah anak panah menyatakan arah vektor tersebut, dan panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya.

Letak titik dalam ruang

Letak suatu titik dalam ruang dapat dipandang dengan tiga sumbu, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Misal titik itu adalah P, maka koordinat titik P dinyatakan (x, y, z).

Vektor dalam ruang

Misal titik P(x, y, z) berada dalam ruang, maka ada ruas garis berarah OP dengan vektor posisi p, di mana p = xi + yj +zk.

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1.

Misalkan vektor a adalah vektor satuan maka dituliskan , dimana

Vektor i,j, dan k berturut-turut adalah vektor satuan dalam arah x, y, dan z.

Setiap vektor u memiliki vektor satuan , di mana

Notasi Analitis

Notasi analitis digunakan untuk menganalisa vektor tanpa menggunakan gambar. 

Pada dimensi dua (R2), sebuah vektor a dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai berikut .

Pada dimensi dua (R3), sebuah vektor a dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya sebagai berikut .

a_x  : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x

a_y  : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y

a_z  : besar komponen vektor a dalam arah sumbu z

Notasi i, j, k

Dalam koordinat kartesian vektor arah/vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan.

Dalam koordinat kartesian  i, j, k. yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

Sehingga:

Vektor  dapat ditulis a = a_x i + a_yj

Vektor  dapat ditulis a = a_x i + a_yj + a_zk

Modulus vektor

Modulus vektor merupakan panjang vektor.

Menurut aturan Pythagoras, panjang dari sisi miring sebuah segitiga adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Sehingga:

Panjang vekator  adalah

Panjang vekator  adalah

Sudut antara dua vektor

Sudut antara vektor a dan vektor b adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b yang bertemu titik pangkalnya, dan dituliskan

Dua vektor yang sama

Vektor a dikatakan sama dengan vektor b bila besar dan arahnya sama. Dengan demikian komponen kedua vektor juga sama.

Vektor negatif

Vektor a dikatakan vektor negatif dari vektor b bila besar sama tetapi arahnya berlawanan dan ditulis a = -b

Penjumlahan vektor

Dua vektor dapat dijumlahkan. Hasil penjumlahan dua vektor dinamakan resultan. Jumlah atau resultan vektor a dan b secara geometris dapat dilakukan dengan dua cara, yakni cara segitiga dan cara jajargenjang.

Penjumlahan cara segitiga

Menjumlahkan vektor a dan vektor b dengan cara segitiga adalah dengan menempatkan vektor b di ujung vektor a, lalu dari pangkal vektor a dihubungkan dengan ujung vektor b untuk mendapatkan vektor baru (a + b).

Penjumlahan cara jajargenjang

Menjumlahkan vektor a dan vektor b dengan cara jajargenjang adalah dengan menempatkan vektor b di pangkal vektor a, lalu dari ujung vektor a dibuat bayangan vektor b dan sebaliknya. Hubungkan pertemuan pangakl vektor dan pertemuan ujung bayangan kedua vektor untuk mendapatkan vektor baru (a + b).

Komponen vektor hasil penjumlahan

Komponen hasil penjumlahan vektor a dan b diartikan sebagai berikut:

 atau

Panjang vektor hasil penjumlahan

Secara analitik, panjang vektor hasil penjumlahan dapat ditentukan dengan aturan cos:

tetapi apabila komponen hasil penjumlahan diketahui, maka panjang vektor hasil penjumlahan diperoleh:

Pengurangan

Selisih dua buah vektor a dan b didefinisikan sebagai a – b = a + (-b). Proses geometrinya dapat menggunakan aturan segitiga maupun aturan jajargenjang.

Secara komponen, vektor hasil pengurangan dapat dirumuskan:

 atau

Panjang hasil pengurangan dua vektor

Secara analitik, panjang vektor hasil penjumlahan dapat ditentukan dengan aturan cos:

tetapi apabila komponen hasil penjumlahan diketahui, maka panjang vektor hasil penjumlahan diperoleh:

Perkalian vektor dengan skalar

Vektor a= mb adalah sebuah vektor yang panjangya |m| kali panjang vektor b dan arahnya sama bila m positif dan berlawanan bila m negatif. Jika m=0, maka diperoleh vektor nol yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu.

Apabila komponen vektornya diketahui, maka:

 atau

Vektor posisi

Apabila terdapat titik A(a_x, a_y, a_z), maka terdapat ruas garis berarah OA dengan vektor a = a_xi + a_yj + a_zk, dimana kemudia vektor a merupakan vektor posisi dari titik A.

Ruas garis berarah

Bila a dan b masing-masing adalah vektor posisi dari titik A dan B maka ruas garis berarah AB dapat diartikan sebagai berikut:

Pembagian ruas garis

Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka vektor posisi p dapat diperoleh:

Dot product

Perkalian titik didefinisikan sebagai dengan  adalah sudut yang diapit oleh a dan b. Hasil perkalian ini berupa skalar bukan vektor dan disebut perkalian skalar.

Sifat-sifat perkalian dot product:

1. 
2. 

Sudut antara Dua Vektor

Untuk menghitung sudut antara vektor a dan vektor b dapat digunakan dot product kedua vektor.

Hukum orthogonalitas

Dua vektor a dan b saling tegak lurus jika sudut yang dibentuk 90^o. Dengan demikian hukum orthogonalitas (ketegaklurusan) vektor a dan b adalah:

Proyeksi Skalar

Bila vektor a diproyeksikan pada vektor b, maka panjang vektor hasil proyeksi p disebut skalar dan dinyatakan | p |.

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor adalah vektor hasil proyeksi. Bila vektor a diproyeksikan pada vektor b, maka vektor hasil proyeksi p adalah:

Cross product

Berlainan dengan perkalian titik, hasil perkalian silang  adalah vektor.

Perkalian silang vektor a and b adalah sebuah vektor dan besarnya diberikan oleh , dimana  adalah sudut antara kedua vektor.

Arah vektor hasil cross product adalah tegak lurus pada kedua vektor tersebut dan memenuhi aturan tangan kanan (right-hand rule).

Teknik menentukan hasil cross product dapat menggunakan determinan matriks ordo 3 x 3.